Curso de Probabilidade 

Este Curso é Grátis

 

Probabilidade — Prof. Luiz de Castro

Prof. Luiz de Castro

Mestre em Gestão & Adm. de Empresas · Professor Universitário

Probabilidade 6 Partes · 50 Atividades
Curso Completo

Probabilidade:
do Acaso à Certeza

Entenda como matematizar o imprevisível. Do vocabulário essencial às distribuições avançadas — teoria aprofundada, fórmulas comentadas e 50 atividades com gabarito completo.

6
Partes do Curso
50
Atividades com Gabarito
12+
Fórmulas Essenciais
∞
Aplicações Práticas

Estrutura do Curso

🎲

Parte 1 — Fundamentos

Vocabulário, espaço amostral, fórmula clássica e escala de probabilidade.

⚖️

Parte 2 — Tipos de Prob.

Clássica, frequentista e subjetiva. Complementar, adição e eventos exclusivos.

🔗

Parte 3 — Condicional & Bayes

Probabilidade condicional, independência, regra do produto e Teorema de Bayes.

🔢

Parte 4 — Combinatória

Fatorial, permutações, arranjos simples e combinações simples.

📊

Parte 5 — Distribuições

Variável aleatória, Binomial, Poisson e Distribuição Normal (Gaussiana).

🌌

Parte 6 — Avançado

Probabilidade geométrica, Lei dos Grandes Números, Esperança e Paradoxo do Aniversário.

💬 Essência do Curso
"Probabilidade é a linguagem do incerto — aprenda a falar dela." — Prof. Luiz de Castro
Parte 1

Fundamentos da Probabilidade

O que é probabilidade, vocabulário essencial, espaço amostral e a fórmula clássica.

O que é Probabilidade?

Probabilidade é a medida numérica da chance de um evento acontecer. Varia de 0 (impossível) a 1 (certo).

P = 0
Impossível P = 0,25
Pouco provável P = 0,5
Meio a meio P = 0,75
Muito provável P = 1
Certo

Vocabulário Essencial

🎲

Experimento Aleatório

Ação cujo resultado não pode ser previsto com certeza. Ex: lançar um dado, jogar uma moeda, sortear uma carta.

📦

Espaço Amostral (Ω)

Conjunto de TODOS os resultados possíveis. Ex: Ω = {1,2,3,4,5,6} para um dado. Cada resultado individual é um ponto amostral.

✅

Evento

Subconjunto do espaço amostral — resultado que nos interessa. Ex: A = {2,4,6} → sair número par em um dado.

🔢

Evento Elementar

Evento com apenas um resultado. Ex: A = {3}. São os blocos básicos para construir qualquer evento composto.

Fórmula Clássica

📐 Fórmula — Quando todos os resultados são igualmente prováveis
P(A) = n(A) ÷ n(Ω)

P(A) = probabilidade do evento A
n(A) = número de casos FAVORÁVEIS ao evento A
n(Ω) = número TOTAL de resultados possíveis
✅ Exemplo — Dado Honesto

Qual a probabilidade de sair número par?
Ω = {1,2,3,4,5,6} → n(Ω) = 6
A = {2,4,6} → n(A) = 3
P(A) = 3/6 = 1/2 = 0,5 = 50%

Propriedades Fundamentais

  • 0 ≤ P(A) ≤ 1 para qualquer evento A
  • P(Ω) = 1 — a probabilidade do espaço amostral inteiro é sempre 1
  • P(∅) = 0 — a probabilidade do conjunto vazio (evento impossível) é sempre 0
  • Σ P(eᵢ) = 1 — a soma das probabilidades de todos os pontos amostrais é 1
  • Para eventos mutuamente exclusivos: P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aₙ) = ΣP(Aᵢ)
✏️

Atividades — Parte 1: Fundamentos

6 questões
1
Uma urna contém 4 bolas vermelhas, 3 azuis e 3 brancas. Calcule: (a) P(vermelha), (b) P(azul), (c) P(branca), (d) P(não vermelha). Verifique que a soma de P(vermelha)+P(azul)+P(branca)=1.
n(Ω) = 4+3+3 = 10 bolas
(a) P(vermelha) = 4/10 = 0,40 = 40%
(b) P(azul) = 3/10 = 0,30 = 30%
(c) P(branca) = 3/10 = 0,30 = 30%
P(não vermelha) = 1 − P(vermelha) = 1 − 0,4 = 0,60 = 60%
Verificação: 0,40 + 0,30 + 0,30 = 1,00 ✓
2
Ao lançar dois dados honestos, determine o espaço amostral. Quantos pontos amostrais há? Calcule P(soma = 7) e P(soma = 12).
n(Ω) = 6×6 = 36 pontos amostrais (pares ordenados (d1, d2))
Soma = 7: {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} → 6 casos
P(soma=7) = 6/36 = 1/6 ≈ 16,7%
Soma = 12: apenas {(6,6)} → 1 caso
P(soma=12) = 1/36 ≈ 2,8%
3
Um baralho padrão tem 52 cartas (4 naipes de 13 cartas cada). Calcule: (a) P(tirar um ás), (b) P(tirar uma carta de copas), (c) P(tirar uma figura — valete, dama ou rei).
n(Ω) = 52
(a) Há 4 ases: P(ás) = 4/52 = 1/13 ≈ 7,7%
(b) Há 13 copas: P(copas) = 13/52 = 1/4 = 25%
(c) Figuras: 4 valetes + 4 damas + 4 reis = 12 cartas: P(figura) = 12/52 = 3/13 ≈ 23,1%
4
Numa turma de 25 alunos, 10 gostam de matemática, 8 de física e 5 de ambas. Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso gostar de matemática OU física?
Usando a Regra da Adição: P(M∪F) = P(M) + P(F) − P(M∩F)
P(M∪F) = 10/25 + 8/25 − 5/25 = 13/25 = 0,52 = 52%
Interpretação: 52% dos alunos gostam de pelo menos uma das duas disciplinas.
5
Um dado de 12 faces (faces de 1 a 12) é lançado. Calcule: (a) P(número primo), (b) P(múltiplo de 3), (c) P(primo E múltiplo de 3).
n(Ω) = 12. Primos em {1..12}: {2,3,5,7,11} → 5 primos. Múltiplos de 3: {3,6,9,12} → 4.
(a) P(primo) = 5/12 ≈ 41,7%
(b) P(mult. 3) = 4/12 = 1/3 ≈ 33,3%
(c) Primo E múltiplo de 3: apenas {3} → P = 1/12 ≈ 8,3%
6
Uma roda-da-fortuna tem 8 setores iguais: 3 vermelhos, 2 azuis, 2 verdes e 1 preto. Qual a probabilidade de parar em: (a) vermelho, (b) não ser preto, (c) azul ou verde?
n(Ω) = 8 setores iguais
(a) P(vermelho) = 3/8 = 37,5%
(b) P(não preto) = 1 − 1/8 = 7/8 = 87,5%
(c) P(azul ∪ verde) = 2/8 + 2/8 = 4/8 = 50% (mutuamente exclusivos)
Parte 2

Tipos de Probabilidade

Probabilidade clássica, frequentista e subjetiva. Complementar, adição e eventos mutuamente exclusivos.

Os 3 Tipos de Probabilidade

🎲

1. Clássica (a priori)

Usada quando todos os resultados são igualmente prováveis. Baseada em raciocínio lógico, antes do experimento.

P(A) = casos favoráveis / total
Ex: dado, moeda, baralho

📈

2. Frequentista (a posteriori)

Baseada na repetição de experimentos. A probabilidade é a frequência relativa ao longo de muitas tentativas.

P(A) ≈ freq(A) / nº tentativas
Ex: controle de qualidade

🧠

3. Subjetiva (bayesiana)

Baseada em julgamento pessoal, experiência ou dados incompletos. Sem experimento repetível.

Baseada em conhecimento prévio
Ex: previsão do tempo, diagnóstico

Evento Complementar

📐 Fórmula
P(Aᶜ) = 1 − P(A)
💡 Dica: às vezes é mais fácil calcular o complementar!
Exemplo: P(não tirar 6) = 1 − 1/6 = 5/6 ≈ 83,3%

Regra da Adição

🔒 Mutuamente Exclusivos (A ∩ B = ∅)

  • Não podem ocorrer ao mesmo tempo
  • P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
  • Ex: par OU ímpar = 3/6 + 3/6 = 1
  • Diagramas de Venn sem sobreposição

🔓 Não-Exclusivos (A ∩ B ≠ ∅)

  • Podem ocorrer juntos (há interseção)
  • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
  • Ex: rei OU copas = 4/52 + 13/52 − 1/52 = 16/52
  • Subtrair para não contar duas vezes!
✅ Exemplo Completo — Baralho

P(rei ou copas)?
P(rei) = 4/52 | P(copas) = 13/52 | P(rei de copas) = 1/52
P(rei ∪ copas) = 4/52 + 13/52 − 1/52 = 16/52 ≈ 30,8%

✏️

Atividades — Parte 2: Tipos de Probabilidade

6 questões
7
Num baralho de 52 cartas, calcule P(carta vermelha OU figura). Lembre: figuras são valete, dama e rei (12 ao total); cartas vermelhas são copas e ouros (26).
P(vermelha) = 26/52 | P(figura) = 12/52 | P(vermelha E figura) = 6/52 (6 figuras vermelhas: V,D,R de copas e ouros)
P(vermelha ∪ figura) = 26/52 + 12/52 − 6/52 = 32/52 = 8/13 ≈ 61,5%
8
Um dado é lançado. A = {1,2,3} e B = {4,5,6}. (a) A e B são mutuamente exclusivos? (b) Calcule P(A ∪ B). (c) Calcule P(Aᶜ).
(a) Sim, são mutuamente exclusivos: A ∩ B = ∅ (não há número que pertença a ambos)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 3/6 + 3/6 = 6/6 = 1
Faz sentido: A ∪ B = Ω inteiro
P(Aᶜ) = 1 − P(A) = 1 − 3/6 = 3/6 = 0,5 = 50%
9
Em uma pesquisa, 60% dos clientes usam produto X, 40% usam produto Y, e 25% usam ambos. Que tipo de probabilidade está sendo usada aqui? Calcule P(usar pelo menos um dos produtos).
Tipo: Frequentista — as probabilidades foram obtidas a partir de frequências observadas numa pesquisa (experimento repetido).
P(X ∪ Y) = P(X) + P(Y) − P(X ∩ Y) = 0,60 + 0,40 − 0,25 = 0,75 = 75%
75% dos clientes usam pelo menos um dos produtos.
10
Um médico diz que há "70% de chance de o paciente se recuperar com o tratamento A". Que tipo de probabilidade é essa? Quais são suas características e limitações?
Tipo: Subjetiva (ou Bayesiana) — baseada na experiência clínica do médico, dados de estudos anteriores e julgamento profissional.
Características: não há experimento repetível idêntico (cada paciente é único); combina conhecimento estatístico com expertise pessoal; pode ser atualizada com novas informações (Bayes).
Limitações: depende do julgamento do especialista (viés possível); diferentes médicos podem ter estimativas diferentes para o mesmo paciente; difícil de verificar objetivamente.
11
P(A) = 0,45 e P(B) = 0,30. Se A e B são mutuamente exclusivos, calcule: (a) P(A ∪ B), (b) P(Aᶜ), (c) P(Aᶜ ∩ Bᶜ). Dica para (c): use De Morgan.
P(A ∪ B) = 0,45 + 0,30 = 0,75
P(Aᶜ) = 1 − 0,45 = 0,55
(c) Lei de De Morgan: (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ
P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = P((A∪B)ᶜ) = 1 − P(A∪B) = 1 − 0,75 = 0,25
12
Uma fábrica faz controle de qualidade: em 500 peças testadas, 18 foram defeituosas. (a) Qual a probabilidade frequentista de uma peça ser defeituosa? (b) Se produz 10.000 peças/dia, quantas defeituosas são esperadas? (c) Essa probabilidade seria maior ou menor após melhorar o processo? Por quê?
P(defeito) ≈ 18/500 = 0,036 = 3,6%
Esperadas = 10.000 × 0,036 = 360 peças defeituosas/dia
(c) Menor. Ao melhorar o processo, a frequência relativa de defeitos observada em futuros experimentos seria menor. Na abordagem frequentista, a nova probabilidade seria estimada a partir dos dados do processo melhorado — e tenderia a ser menor que 3,6%.
Parte 3

Condicional, Independência & Bayes

Quando um evento influencia o outro: probabilidade condicional, regra do produto e o poderoso Teorema de Bayes.

Probabilidade Condicional

📐 Fórmula
P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) onde P(B) > 0
Lê-se: "probabilidade de A DADO que B ocorreu" A informação de que B ocorreu restringe o espaço amostral a B — recalculamos dentro desse espaço menor.
✅ Exemplo — Turma de 30 alunos

18 gostam de Matemática (M) | 12 de Física (F) | 8 de ambas
Qual P(gostar de Física | gostar de Matemática)?
P(F∩M) = 8/30 | P(M) = 18/30
P(F|M) = (8/30) ÷ (18/30) = 8/18 = 4/9 ≈ 44,4%

💡 P(A|B) ≠ P(B|A) — confundir os dois é um erro muito comum chamado "inversão da condicional"! Ex.: P(fumante|câncer) ≠ P(câncer|fumante).

Eventos Independentes

📐 Definição e Teste
A e B são INDEPENDENTES se: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Equivalentemente: P(A | B) = P(A)
(B não muda a probabilidade de A)
✅ Dois lançamentos de moeda

P(cara na 1ª) = 1/2 | P(cara na 2ª) = 1/2
O 1º lançamento não afeta o 2º — são independentes!
P(cara E cara) = 1/2 × 1/2 = 1/4 = 25%

⚠️ Falácia do Jogador: após 10 caras seguidas, a probabilidade de coroa CONTINUA sendo 50%! Cada lançamento é independente — a moeda não tem "memória".

Regra do Produto (Multiplicação)

📐 Com e sem dependência
Com dependência: P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
Sem dependência: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

SEM reposição: P = 26/52 × 25/51 = 650/2652 ≈ 24,5%
COM reposição: P = 26/52 × 26/52 = 676/2704 = 25% Tirar 2 cartas vermelhas. Sem reposição: após tirar a 1ª, a 2ª amostragem muda!
✅ Urna sem reposição

Urna com 5 bolas vermelhas e 3 azuis. P(2 vermelhas seguidas sem reposição)?
P(1ª vermelha) = 5/8 | P(2ª vermelha | 1ª vermelha) = 4/7
P(VV) = 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14 ≈ 35,7%

Teorema de Bayes

📐 Fórmula de Bayes
P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)
onde: P(B) = P(B|A)·P(A) + P(B|Aᶜ)·P(Aᶜ)

P(A) = probabilidade PRÉVIA (prior)
P(B|A) = verossimilhança (likelihood)
P(A|B) = probabilidade POSTERIOR (posterior)
✅ Exemplo Médico Clássico — Resultado Surpreendente!

• Doença afeta 1% da população → P(D) = 0,01
• Teste positivo dado doença → P(+|D) = 0,99 (sensibilidade 99%)
• Falso positivo → P(+|Dᶜ) = 0,05 (5%)

Se o teste deu positivo, qual é P(D|+)?
P(+) = (0,99×0,01) + (0,05×0,99) = 0,0099 + 0,0495 = 0,0594
P(D|+) = (0,99 × 0,01) / 0,0594 = 0,0099/0,0594 ≈ 16,7% ← surpreendente!
Mesmo com teste 99% sensível, se a doença é rara, a maioria dos positivos são falsos positivos!

✏️

Atividades — Parte 3: Condicional & Bayes

6 questões
13
Numa turma: 40% são homens (H), 35% das mulheres usam óculos (O|Mᶜ) e 25% dos homens usam óculos (O|H). Calcule a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso usar óculos. Use a fórmula da probabilidade total.
P(H) = 0,40 → P(M) = 0,60
P(O|H) = 0,25 | P(O|M) = 0,35
P(O) = P(O|H)·P(H) + P(O|M)·P(M) = 0,25×0,40 + 0,35×0,60
P(O) = 0,10 + 0,21 = 0,31 = 31%
31% dos alunos da turma usam óculos.
14
Verificar independência: Em uma turma, P(A) = 0,6, P(B) = 0,5, P(A∩B) = 0,3. A e B são independentes?
Para independência: precisamos P(A∩B) = P(A) × P(B)
P(A) × P(B) = 0,6 × 0,5 = 0,30
P(A∩B) = 0,30 = P(A) × P(B) ✓ → Sim, A e B são independentes!
Confirmação: P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0,30/0,50 = 0,60 = P(A) ✓
15
Uma urna A tem 3 vermelhas e 2 azuis; urna B tem 1 vermelha e 4 azuis. Escolhe-se uma urna ao acaso (50% cada) e retira-se uma bola. (a) P(vermelha)? (b) Se a bola é vermelha, P(veio da urna A)? Use Bayes.
P(A) = P(B) = 0,5 | P(V|A) = 3/5 = 0,6 | P(V|B) = 1/5 = 0,2
P(V) = 0,6×0,5 + 0,2×0,5 = 0,30 + 0,10 = 0,40
P(A|V) = P(V|A)·P(A)/P(V) = (0,6×0,5)/0,40 = 0,30/0,40 = 0,75 = 75%
Se a bola é vermelha, há 75% de chance de ter vindo da urna A.
16
Tres máquinas produzem peças: M1 (50% da produção, 2% defeito), M2 (30%, 3% defeito), M3 (20%, 5% defeito). Uma peça é escolhida ao acaso e é defeituosa. Qual a probabilidade de ter vindo da M3?
P(D) = 0,02×0,50 + 0,03×0,30 + 0,05×0,20 = 0,010 + 0,009 + 0,010 = 0,029
P(M3|D) = P(D|M3)·P(M3)/P(D) = (0,05×0,20)/0,029 = 0,010/0,029 ≈ 34,5%
Apesar da M3 produzir apenas 20% das peças, ela responde por 34,5% das defeituosas — seu maior índice de defeito a torna a suspeita mais provável!
17
Uma caixa tem 10 cartas numeradas de 1 a 10. Retiram-se 2 cartas consecutivamente SEM reposição. Calcule P(ambas pares).
Números pares em {1..10}: {2,4,6,8,10} → 5 pares de 10
P(1ª par) = 5/10 | P(2ª par | 1ª par) = 4/9 (só restam 4 pares de 9 cartas)
P(ambas pares) = 5/10 × 4/9 = 20/90 = 2/9 ≈ 22,2%
18
Um teste de gravidez tem sensibilidade 95% (P(+|grávida)=0,95) e especificidade 90% (P(−|não grávida)=0,90), portanto P(+|não grávida)=0,10. Suponha que 8% das mulheres que fazem o teste estão grávidas. Se o teste deu positivo, qual P(grávida)?
P(G) = 0,08 | P(Gᶜ) = 0,92 | P(+|G) = 0,95 | P(+|Gᶜ) = 0,10
P(+) = 0,95×0,08 + 0,10×0,92 = 0,076 + 0,092 = 0,168
P(G|+) = (0,95×0,08)/0,168 = 0,076/0,168 ≈ 45,2%
Mesmo com um teste positivo, há apenas 45,2% de chance real de gravidez — ilustrando por que testes devem ser interpretados no contexto da prevalência da condição.
Parte 4

Análise Combinatória

Fatorial, permutações, arranjos e combinações — a base matemática para contar possibilidades.

Fatorial — A Base de Tudo

📐 Definição
n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 2 × 1
Convenção especial: 0! = 1
n0123456710
n!1126241207205.0403.628.800

Os Três Tipos de Contagem

🔄 Permutação

Pₙ = n!

Com repetição:
P = n! / (n₁!·n₂!·...·nₖ!)

Ordem importa · Usa TODOS os elementos

📋 Arranjo

A(n,p) = n! / (n−p)!

Ordem importa · Usa PARTE dos elementos

🎯 Combinação

C(n,p) = n! / [p!·(n−p)!]

Ordem NÃO importa · Usa PARTE dos elementos

⚡ Arranjo (ordem importa)

  • ABC ≠ BAC (são contados separado)
  • Pódio, senhas, placas de carro
  • A(5,3) = 120/2 = 60 formas

🌀 Combinação (ordem não importa)

  • ABC = BAC (mesma equipe)
  • Comissões, times, mãos de cartas
  • C(5,3) = 120/(6×2) = 10 formas
✅ Exemplos Clássicos

Permutação: Anagramas de "BANANA": 6!/(3!×2!×1!) = 720/12 = 60 anagramas
Arranjo: Pódio com 3 de 5 atletas: A(5,3) = 5!/2! = 120/2 = 60 formas
Combinação: Comissão de 3 entre 7 pessoas: C(7,3) = 5040/144 = 35 formas

✏️

Atividades — Parte 4: Combinatória

8 questões
19
De quantas formas podemos organizar as letras da palavra "ESTATÍSTICA"? (conte as repetições: E=1, S=2, T=3, A=2, I=2, C=1)
ESTATÍSTICA tem 11 letras: E(1), S(2), T(3), A(2), I(2), C(1)
P = 11! / (1!·2!·3!·2!·2!·1!) = 39.916.800 / (1·2·6·2·2·1)
= 39.916.800 / 48 = 831.600 anagramas
20
Numa sala com 10 candidatos, precisamos escolher um presidente, um vice e um secretário (cargos distintos). De quantas formas podemos fazer isso?
Arranjo — a ordem importa (presidente ≠ vice ≠ secretário)
A(10,3) = 10!/(10−3)! = 10!/7! = 10×9×8 = 720 formas
21
Uma comissão de 4 pessoas deve ser formada a partir de 9 candidatos. De quantas formas? E se uma das 9 pessoas DEVE obrigatoriamente estar na comissão?
Sem restrição:
C(9,4) = 9!/(4!·5!) = 126 formas
Com pessoa obrigatória: ela já está fixa, escolhemos 3 dos 8 restantes
C(8,3) = 8!/(3!·5!) = 56 formas
22
Num grupo de 6 homens e 4 mulheres, de quantas formas podemos escolher uma equipe de 4 pessoas com exatamente 2 homens e 2 mulheres?
Escolher 2 de 6 homens E 2 de 4 mulheres (independentemente → multiplicar)
C(6,2) × C(4,2) = 15 × 6 = 90 formas
23
Quantas senhas de 4 dígitos distintos (0-9) existem? E quantas dessas senhas começam com o dígito 5?
Total (4 dígitos distintos, com ordem): Arranjo A(10,4)
A(10,4) = 10!/6! = 10×9×8×7 = 5.040 senhas
Começando com 5: 1ª posição fixada em 5, arranjar 3 de 9 restantes
A(9,3) = 9×8×7 = 504 senhas
24
Num baralho de 52 cartas, uma mão de pôquer tem 5 cartas. (a) Quantas mãos diferentes existem? (b) Qual a probabilidade de tirar uma mão com todos os 4 ases?
(a) Combinação (ordem não importa):
C(52,5) = 52!/(5!·47!) = 2.598.960 mãos diferentes
(b) Mãos com 4 ases: os 4 ases são fixos, escolhemos 1 das 48 cartas restantes = 48 mãos
P(4 ases) = 48 / 2.598.960 ≈ 0,000018 ≈ 0,0018%
25
Há 12 produtos diferentes numa prateleira. De quantas formas podem ser organizados? E se 3 produtos específicos devem ficar juntos (tratados como bloco)?
Sem restrição: 12! = 479.001.600 formas
Com 3 juntos: trate o bloco como 1 unidade → 10 unidades a organizar, mais a organização interna do bloco
10! × 3! = 3.628.800 × 6 = 21.772.800 formas
26
Qual é a diferença entre C(8,3) e A(8,3)? Calcule ambos e dê um exemplo prático para cada um no contexto de escolha de funcionários.
A(8,3) = 8!/(8−3)! = 8×7×6 = 336 (ordem importa)
C(8,3) = 8!/(3!·5!) = 336/6 = 56 (ordem não importa)
A(8,3) = 336: Escolher gerente (1º), supervisor (2º) e assistente (3º) de 8 candidatos — cargos distintos, ordem importa.
C(8,3) = 56: Escolher 3 funcionários para uma comissão de igualdade salarial — sem hierarquia, ordem não importa.
A razão A/C = 3! = 6 — justamente as 6 formas de ordenar 3 elementos.
Parte 5

Distribuições de Probabilidade

Variáveis aleatórias, distribuição Binomial, Poisson e a onipresente Distribuição Normal Gaussiana.

Variável Aleatória

🎲 V.A. Discreta

  • Assume valores contáveis (inteiros)
  • Ex: nº de caras em 3 lançamentos → {0,1,2,3}
  • Representada por gráficos de barras
  • Binomial e Poisson são exemplos

📏 V.A. Contínua

  • Assume qualquer valor em um intervalo
  • Ex: altura de uma pessoa → [0,∞)
  • Representada por curvas (densidade)
  • Normal é o exemplo clássico
📐 Esperança e Variância de qualquer V.A.
E(X) = Σ [xᵢ × P(xᵢ)] (Valor esperado = média)
Var(X) = E(X²) − [E(X)]² (Dispersão)
σ(X) = √Var(X) (Desvio Padrão)

Distribuição Binomial

📐 Fórmula B(n,p)
P(X=k) = C(n,k) × pᵏ × (1−p)ⁿ⁻ᵏ
E(X) = n·p | Var(X) = n·p·(1−p) | σ = √[n·p·(1−p)] Condições: n tentativas independentes, cada uma com P(sucesso) = p constante.
✅ 10 lançamentos de moeda — P(exatamente 3 caras)

n=10, k=3, p=0,5
P(X=3) = C(10,3) × (0,5)³ × (0,5)⁷ = 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 11,7%
E(X) = 10×0,5 = 5 | σ = √(10×0,5×0,5) = √2,5 ≈ 1,58

Distribuição de Poisson

📐 Fórmula P(λ)
P(X=k) = (e⁻λ × λᵏ) / k!
E(X) = λ | Var(X) = λ (média = variância — característica única!) λ = taxa média de ocorrência | e ≈ 2,71828 | k = 0,1,2,3...
📞

Aplicações Clássicas de Poisson

Chamadas em call center (média 5/min), defeitos em produção (por metro), acidentes (por km), chegadas em fila, clicks em site por segundo.

🔍

Quando usar Poisson

Eventos raros em intervalo fixo; independência entre ocorrências; taxa média λ estável; binomial com n grande e p pequeno (np ≈ λ).

Distribuição Normal (Gaussiana)

📐 Padronização — Z-score
X ~ N(μ, σ²) → Z = (X − μ) / σ ~ N(0,1)

Regra Empírica 68–95–99,7%:
68% dos dados caem em μ ± 1σ
95% dos dados caem em μ ± 2σ
99,7% dos dados caem em μ ± 3σ
✏️

Atividades — Parte 5: Distribuições

8 questões
27
Uma V.A. discreta X tem distribuição: P(X=1)=0,2, P(X=2)=0,3, P(X=3)=0,4, P(X=4)=0,1. Calcule E(X), E(X²) e Var(X).
E(X) = 1×0,2 + 2×0,3 + 3×0,4 + 4×0,1 = 0,2+0,6+1,2+0,4 = 2,4
E(X²) = 1²×0,2 + 2²×0,3 + 3²×0,4 + 4²×0,1 = 0,2+1,2+3,6+1,6 = 6,6
Var(X) = E(X²) − [E(X)]² = 6,6 − (2,4)² = 6,6 − 5,76 = 0,84
σ = √0,84 ≈ 0,917
28
Uma vacina tem eficácia de 80% (P(imune) = 0,8). Em um grupo de 10 pessoas vacinadas, calcule: (a) P(todas imunes), (b) P(exatamente 8 imunes), (c) E(imunes).
X ~ B(10, 0,8)
P(X=10) = (0,8)¹⁰ ≈ 0,1074 ≈ 10,7%
P(X=8) = C(10,8)×(0,8)⁸×(0,2)² = 45×0,16777×0,04 ≈ 0,3020 ≈ 30,2%
E(X) = n·p = 10×0,8 = 8 pessoas imunes (em média)
29
Um call center recebe em média 3 chamadas por minuto (Poisson, λ=3). Calcule: (a) P(nenhuma chamada em 1 min), (b) P(exatamente 5 chamadas), (c) P(mais de 1 chamada).
λ = 3, e⁻³ ≈ 0,0498
P(X=0) = e⁻³ × 3⁰ / 0! = 0,0498 ≈ 5,0%
P(X=5) = e⁻³ × 3⁵ / 5! = 0,0498 × 243 / 120 ≈ 0,1008 ≈ 10,1%
P(X>1) = 1 − P(X=0) − P(X=1)
P(X=1) = e⁻³ × 3 = 0,0498×3 ≈ 0,1494
P(X>1) = 1 − 0,0498 − 0,1494 = 0,8008 ≈ 80,1%
30
As notas de um exame seguem N(μ=65, σ=12). Calcule o Z-score para as notas 77, 53 e 89. Qual percentual de alunos teria nota entre 53 e 89?
Z(77) = (77−65)/12 = 12/12 = +1,00
Z(53) = (53−65)/12 = −12/12 = −1,00
Z(89) = (89−65)/12 = 24/12 = +2,00
Entre 53 e 89 = entre μ−1σ e μ+2σ:
Área entre Z=−1 e Z=+2 = Φ(2) − Φ(−1) = 0,9772 − 0,1587 = 0,8185 ≈ 81,9%
31
Em testes de qualidade, 5% das lâmpadas são defeituosas. Numa amostra de 20 lâmpadas, calcule P(pelo menos uma defeituosa) usando a distribuição Binomial.
X ~ B(20, 0,05). Usar complementar: P(X≥1) = 1 − P(X=0)
P(X=0) = C(20,0)×(0,05)⁰×(0,95)²⁰ = 1×1×(0,95)²⁰
(0,95)²⁰ ≈ 0,3585
P(X≥1) = 1 − 0,3585 = 0,6415 ≈ 64,2%
32
A altura de homens adultos num país segue N(µ=175cm, σ=7cm). Qual a porcentagem de homens com altura: (a) acima de 189cm? (b) entre 168 e 182cm?
Z(189) = (189−175)/7 = 14/7 = 2,00
(a) P(X>189) = P(Z>2) = 1−0,9772 = 0,0228 = 2,28% (acima de μ+2σ)
Z(168) = (168−175)/7 = −1,00 | Z(182) = (182−175)/7 = +1,00
(b) P(168<X<182) = P(−1<Z<1) = 68% (regra empírica!)
33
Por que a Distribuição de Poisson tem a propriedade única de que E(X) = Var(X) = λ? O que isso implica na prática para análise de dados contados?
Prova intuitiva: na Poisson, a variância é determinada pela mesma taxa λ que define a média — não há parâmetro adicional de dispersão. Isso decorre da estrutura matemática onde cada incremento infinitesimal contribui igualmente.
Implicação prática: para dados de contagem, se observarmos que a variância amostral s² é muito maior que a média x̄ (overdispersion), a Poisson pode não ser adequada. Nesse caso, usa-se Binomial Negativa, que tem parâmetro extra de dispersão.
Ex.: contagem de acidentes com σ²/µ = 3 sugere sobredispersão — investigar heterogeneidade nos dados.
34
Uma questão de múltipla escolha tem 5 alternativas. Em uma prova de 10 questões, chutando tudo ao acaso: (a) E(acertos), (b) P(passar com pelo menos 6 acertos), (c) σ dos acertos.
X ~ B(10, 0,2) — p = 1/5 = 0,2
E(X) = 10×0,2 = 2 acertos em média
σ = √(10×0,2×0,8) = √1,6 ≈ 1,26
P(X≥6) = 1 − P(X≤5)
P(X=0)≈0,1074, P(X=1)≈0,2684, P(X=2)≈0,3020, P(X=3)≈0,2013, P(X=4)≈0,0881, P(X=5)≈0,0264
P(X≤5) ≈ 0,9936 → P(X≥6) ≈ 1 − 0,9936 = 0,0064 ≈ 0,64%
Parte 6

Tópicos Avançados

Probabilidade geométrica, Lei dos Grandes Números, Esperança e o surpreendente Paradoxo do Aniversário.

Probabilidade Geométrica

📐 Fórmula
P(A) = medida(A) / medida(Ω)
A "medida" pode ser comprimento, área ou volume — dependendo do espaço amostral contínuo.
✅ Exemplo — Alvo Circular

Raio do alvo (R) = 2m | Raio do miolo (r) = 0,5m
P(miolo) = πr² / πR² = r²/R² = 0,25/4 = 6,25%
Observe: as constantes π se cancelam!

Lei dos Grandes Números

📊 Conforme o número de experimentos cresce, a frequência relativa se aproxima da probabilidade real. Esta é a base teórica da probabilidade frequentista e do seguro!
Nº de lançamentosFreq. de caraP real = 0,5Diferença
100,700,500,20
1000,550,500,05
1.0000,5030,500,003
10.0000,5000,50~0

Paradoxo do Aniversário

🎂 Em quantas pessoas precisamos para ter >50% de chance de duas fazerem aniversário no mesmo dia? Resposta surpreendente: apenas 23!
Pessoas (n)P(≥2 iguais)Observação
1011,7%Baixa
2041,1%Quase metade!
2350,7% ✔ULTRAPASSA 50%!
3070,6%Muito provável
5097,0%Quase certo
7099,9%Praticamente certo
📐 Fórmula do Paradoxo do Aniversário
P(todos diferentes com n pessoas) = 365/365 × 364/365 × ... × (365−n+1)/365
P(ao menos 2 iguais) = 1 − P(todos diferentes)
✏️

Atividades — Parte 6: Tópicos Avançados

8 questões
35
Um ponto é escolhido aleatoriamente num quadrado de lado 6. Dentro há um círculo de raio 2 (centro no centro do quadrado). Qual a probabilidade do ponto cair dentro do círculo?
Área do quadrado = 6² = 36
Área do círculo = π × 2² = 4π ≈ 12,566
P(dentro do círculo) = 4π/36 = π/9 ≈ 0,3491 ≈ 34,9%
36
Um segmento de 10cm é dividido aleatoriamente num ponto. Qual a probabilidade de a parte menor ter pelo menos 3cm?
Para a parte menor ter ao menos 3cm, o ponto de corte deve estar entre 3 e 7cm (fora desse intervalo, uma parte teria menos de 3cm).
Comprimento favorável = 7 − 3 = 4cm
P = 4/10 = 0,40 = 40%
37
Calcule E(X) e Var(X) para o lançamento de um dado honesto (faces 1 a 6).
E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
E(X²) = (1+4+9+16+25+36)/6 = 91/6 ≈ 15,167
Var(X) = E(X²) − [E(X)]² = 91/6 − (3,5)² = 15,167 − 12,25 = 2,917 ≈ 35/12
σ = √(35/12) ≈ 1,708
38
No jogo da roleta europeia (37 números: 0 a 36), um jogador aposta R$10 no número 7 (paga 35:1 se acertar). Calcule E(ganho) e interprete a "vantagem da casa".
P(acertar) = 1/37 | P(errar) = 36/37
Se acertar: recebe 35×R$10 = R$350 (lucro de +R$340, pois perdeu a aposta)
Se errar: perde −R$10
E(ganho) = (+340)×(1/37) + (−10)×(36/37) = 340/37 − 360/37 = −20/37 ≈ −R$0,54
Vantagem da casa ≈ 2,7% (= 1/37). Por cada R$10 apostados, o jogador perde em média R$0,54. No longo prazo, a casa SEMPRE ganha — Lei dos Grandes Números aplicada aos cassinos!
39
Um arquivo de texto tem 20 páginas. O estudante vai escolher aleatoriamente uma página para estudar. Qual a probabilidade de cair uma página par, usando probabilidade geométrica sobre o intervalo [1,20]?
Para prob. geométrica contínua em [1,20]: total = 19 unidades de comprimento.
Páginas pares: 2,4,6,...,20 → 10 páginas. Na abordagem contínua, cada par ocupa 1 unidade em [n−0,5, n+0,5].
Abordagem clássica (discreta): 10 pares de 20 → P = 10/20 = 50%.
40
Explique a Lei dos Grandes Números em suas próprias palavras e dê 3 exemplos de como ela é usada na vida real (empresas, governo, ciência).
LGN: Quanto mais vezes repetimos um experimento aleatório, mais a frequência relativa observada se aproxima da probabilidade teórica real.
1. Seguradoras: Não sabem se uma pessoa específica sofrerá acidente, mas com milhões de segurados, sabem exatamente qual porcentagem acionará o seguro — definem prêmios com precisão.
2. Pesquisas eleitorais: Com amostras de ~1.000 pessoas, estimam a proporção de 150 milhões de eleitores com margem de apenas ±3%.
3. Farmacologia: Ensaios clínicos com milhares de pacientes identificam efeitos colaterais raros (1 em 10.000) que não aparecem em estudos pequenos.
41
Por que o Paradoxo do Aniversário parece contraintuitivo? Qual o erro de raciocínio que a maioria das pessoas faz ao estimar essa probabilidade?
Por que parece contraintuitivo: a maioria pensa "qual a chance de alguém ter meu aniversário?" (1/365 ≈ 0,27%) e extrapola para um grupo, chegando a números muito baixos.
O erro: não é sobre uma pessoa específica — é sobre QUALQUER par do grupo. Com 23 pessoas, há C(23,2) = 253 pares possíveis! Cada par tem ~1/365 chance, mas com 253 pares independentes, o efeito se acumula.
Analogia: é como perguntar "chove hoje?" (baixa chance isolada) vs "chove pelo menos um dia no mês?" (quase certeza com 30 tentativas). O número de "tentativas" (pares) cresce quadraticamente com n.
42
Dois amigos combinam de se encontrar entre 12h e 13h. Cada um chega num horário aleatório e espera 15 minutos. Qual a probabilidade de se encontrarem? (Probabilidade geométrica 2D)
Espaço amostral: quadrado 60×60 = 3.600 min². Variáveis: X = chegada de A, Y = chegada de B.
Se encontram se |X − Y| ≤ 15. A área favorável = área do quadrado − 2 triângulos com catetos 45.
Área dos 2 triângulos = 2 × (45²/2) = 2.025
Área favorável = 3.600 − 2.025 = 1.575
P = 1.575/3.600 = 7/16 = 0,4375 ≈ 43,75%
Parte 7

Aplicações & Falácias

Do cotidiano à física quântica — e os erros clássicos de raciocínio probabilístico que todos cometem.

Probabilidade no Cotidiano

☂️

Meteorologia

"70% de chance de chuva" = em dias com as mesmas condições atmosféricas, choveu 70% das vezes. Probabilidade frequentista!

🏦

Finanças & Seguros

Precificação de derivativos, cálculo de prêmios de seguro e VaR (Value at Risk) — tudo baseado em distribuições de probabilidade.

🧬

Medicina & Genética

Diagnósticos, eficácia de medicamentos, leis de Mendel (herança genética) e epidemiologia usam probabilidade.

🤖

Inteligência Artificial

ML usa probabilidade para classificar (Naive Bayes), prever (regressão) e tomar decisões sob incerteza (redes neurais).

🎰

Jogos & Apostas

A "vantagem da casa" é a expectativa negativa do jogador. A longo prazo, qualquer jogo com E(ganho) < 0 arruína o jogador.

🔬

Física Quântica

Ao nível subatômico, a natureza é fundamentalmente probabilística. A posição do elétron é uma distribuição de probabilidade!

As 4 Falácias Clássicas

🎰

Falácia do Jogador

Acreditar que após muitos resultados iguais, o oposto é "mais provável".

Após 10 caras → P(coroa) ainda é 50%!
A moeda não tem memória. Cada lançamento é independente.

👁

Ilusão do Controle

Acreditar que habilidade pode influenciar eventos puramente aleatórios.

Lançar dado "com cuidado" não muda os resultados.
Em eventos aleatórios, não há controle possível.

📊

Inversão da Condicional

Confundir P(A|B) com P(B|A).

P(câncer|fumante) ≠ P(fumante|câncer)!
Sempre identifique corretamente quem é condição e quem é evento.

♾

Lei dos Pequenos Números

Tirar conclusões de amostras muito pequenas.

3 sucessos em 4 tentativas NÃO significa 75% real.
Precisamos de muitas repetições (LGN) para estabilização.

✏️

Atividades — Parte 7: Aplicações & Falácias

8 questões
43
Uma pessoa ganhou na loteria duas vezes. Um comentarista disse: "ela teve sorte duas vezes, portanto tem menos probabilidade de ganhar uma terceira". Que falácia é essa? Explique.
Falácia do Jogador (Gambler's Fallacy)
Cada sorteio de loteria é um evento independente. Os resultados anteriores NÃO influenciam os futuros. A probabilidade de ganhar na próxima vez é exatamente a mesma de qualquer outra pessoa.
O equívoco está em pensar que há uma "tendência" que deve ser equilibrada. Os sorteios não têm memória — a probabilidade permanece constante a cada novo jogo.
44
Um médico diz: "80% dos pacientes com essa doença são fumantes, portanto se você fuma, há 80% de chance de ter essa doença." Qual é o erro? Que informações seriam necessárias para calcular corretamente?
Inversão da Condicional: O médico confundiu P(fumante | doença) = 0,80 com P(doença | fumante).
Para calcular corretamente P(doença | fumante), precisaríamos do Teorema de Bayes:
P(D|F) = P(F|D)×P(D) / P(F)
Informações necessárias: (1) prevalência da doença na população P(D), (2) proporção de fumantes na população P(F). Mesmo com P(F|D)=0,80, se a doença é rara (P(D)=0,01) e há muitos fumantes (P(F)=0,30), P(D|F) seria bem menor que 80%.
45
Um time de futebol perdeu os últimos 5 jogos. Um torcedor diz: "agora temos mais chance de ganhar, pois é impossível perder 6 seguidos". Calcule P(6 derrotas seguidas) se P(derrota) = 0,4 em cada jogo, e explique se o raciocínio está correto.
P(6 derrotas seguidas) = (0,4)⁶ = 0,004096 ≈ 0,41%
O raciocínio está ERRADO. É verdade que 6 derrotas seguidas é raro antes de começar a sequência. Mas após já perder 5 jogos, a probabilidade de perder o 6º continua sendo 0,4 — independentemente do passado.
P(derrota no 6º | já perdeu 5) = P(derrota no 6º) = 0,4 — por independência dos eventos.
46
Como a probabilidade é usada em algoritmos de Machine Learning? Descreva como um filtro de spam usa probabilidade condicional (Naive Bayes) para classificar e-mails.
Naive Bayes para spam: calcula P(spam | palavras do e-mail) usando Bayes.
Treinamento: com exemplos marcados, calcula P(spam), P(ham) e P(palavra_k | spam), P(palavra_k | ham) para cada palavra.
Classificação: para novo e-mail com palavras w₁, w₂, ..., wₙ:
P(spam|e-mail) ∝ P(spam) × ΠP(wᵢ|spam)
P(ham|e-mail) ∝ P(ham) × ΠP(wᵢ|ham)
Classifica como spam se P(spam|e-mail) > P(ham|e-mail). O "naive" (ingênuo) vem da suposição de que as palavras são independentes — simplificação que funciona surpreendentemente bem na prática!
47
Numa pesquisa, 3 de 4 produtos testados foram aprovados. Um gerente concluiu: "75% de aprovação — excelente!" Que erro estatístico ele cometeu? Quantos testes seriam necessários para essa afirmação ser confiável?
Lei dos Pequenos Números — tirar conclusões de amostra muito pequena (n=4).
Com n=4 e π=0,75, o IC de 95% seria aproximadamente [0,19; 0,99] — uma amplitude enorme! O resultado "75%" tem altíssima incerteza.
Para afirmar 75% com margem de erro ±5% e 95% de confiança:
n = (1,96)² × 0,75×0,25 / (0,05)² = 3,8416 × 0,1875 / 0,0025 ≈ 288 produtos
Precisaria testar pelo menos 288 produtos para essa afirmação ser estatisticamente sólida.
48
Em um jogo de azar, você paga R$5 para jogar. Ganha R$20 se tirar 6 num dado (1 chance em 6), ou R$10 se tirar 5 (1 chance em 6). Caso contrário perde. Calcule E(ganho) e diga se vale a pena jogar.
Ganhos líquidos: tirar 6 → +R$15 (20−5); tirar 5 → +R$5 (10−5); outros → −R$5
E(ganho) = 15×(1/6) + 5×(1/6) + (−5)×(4/6)
= 2,50 + 0,833 − 3,333 = 0,00 = R$0
E(ganho) = R$0 — Jogo justo! Não há vantagem para nenhum lado no longo prazo. Vale a pena se você gosta do entretenimento; não vale se o objetivo é lucrar.
49
Pesquisa mostra que cidades com mais sorveterias têm mais afogamentos. r = 0,87. Um vereador propõe fechar sorveterias para reduzir afogamentos. Critique essa proposta usando conceitos probabilísticos.
Correlação ≠ Causalidade. A proposta é equivocada e ilustra o problema da variável de confundimento (confounding variable).
Causa real: temperatura/calor do verão é a causa comum — no verão, as pessoas comem mais sorvete E vão mais a praias/piscinas, aumentando afogamentos. Sorveterias não causam afogamentos.
Probabilisticamente: P(afogar | ir à praia) é alto; P(ir à praia) cresce no verão; P(comprar sorvete) também cresce no verão. A correlação existe, mas a relação causal é espúria.
Para estabelecer causalidade, seria necessário um experimento controlado randomizado, eliminando o confundimento da temperatura.
50
QUESTÃO INTEGRADORA: Um exame de diagnóstico de uma doença rara (prevalência 0,5%) tem sensibilidade 99% e especificidade 95%. (a) Calcule P(doente | teste positivo). (b) Quantas das 1.000.000 pessoas com teste positivo realmente têm a doença? (c) O que isso implica para políticas de saúde pública?
P(D)=0,005 | P(Dᶜ)=0,995 | P(+|D)=0,99 | P(+|Dᶜ)=0,05
P(+) = 0,99×0,005 + 0,05×0,995 = 0,00495 + 0,04975 = 0,05470
P(D|+) = (0,99×0,005)/0,05470 = 0,00495/0,05470 ≈ 9,05%
(b) De 1.000.000 positivos: apenas ~90.500 têm a doença de fato (≈9%). Os outros ~909.500 são falsos positivos!
(c) Implicações: Um teste com E(positivo) baixo não deve ser aplicado indiscriminadamente à população geral. Screening em massa para doenças raras gera enorme número de falsos positivos — causando ansiedade, exames desnecessários e custos elevados. A solução é: (1) aumentar a especificidade do teste; (2) aplicar apenas em populações de risco elevado (prior maior); (3) confirmar com segundo teste antes de tratar.
Referência Rápida

Resumo de Fórmulas

Todas as fórmulas essenciais do curso em um único lugar — seu guia de consulta rápida.

Probabilidades Básicas

Clássica

P(A) = n(A) / n(Ω)

Complementar

P(Aᶜ) = 1 − P(A)

Adição

P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)

Mut. Exclusivos

P(A∪B) = P(A) + P(B)

Multiplicação

P(A∩B) = P(A) × P(B|A)

Independência

P(A∩B) = P(A) × P(B)

Condicional e Bayes

Condicional

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

Prob. Total

P(B) = Σ P(B|Aᵢ)·P(Aᵢ)

Bayes

P(A|B) = P(B|A)·P(A)/P(B)

Combinatória

Fatorial

n! = n×(n−1)×...×1
0! = 1

Permutação

Pₙ = n!
Com rep.: n!/(n₁!·n₂!...)

Arranjo

A(n,p) = n!/(n−p)!

Combinação

C(n,p) = n!/[p!·(n−p)!]

Prob. Geométrica

P(A) = medida(A)/medida(Ω)

Complementar (Comb.)

P(≥1) = 1 − P(nenhum)

Distribuições

Binomial B(n,p)

P(X=k)=C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ
E=n·p | Var=n·p·(1−p)

Poisson P(λ)

P(X=k)=e⁻λ·λᵏ/k!
E(X)=λ | Var(X)=λ

Normal N(μ,σ²)

Z=(X−μ)/σ
68/95/99,7 regra empírica

Esperança

E(X) = Σ xᵢ·P(xᵢ)

Variância

Var(X) = E(X²) − [E(X)]²

Paradoxo Aniversário

P(≥2 iguais)=1−P(todos dif.)
n=23 → P>50%
💡 Dica de Estudo: Para resolver qualquer problema de probabilidade, siga: (1) Defina o espaço amostral Ω, (2) Identifique o evento de interesse, (3) Escolha a fórmula adequada ao contexto, (4) Calcule e verifique se 0 ≤ P ≤ 1.